Question

如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10

3

米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若sinθ+cosθ=

2

，求此时管道的长度L；
（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

Answer 1

分析：（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得EH=

10

cosθ

，FH=

10

sinθ

，EF=

EH2+FH2

=

10

sinθcosθ

(0＜θ＜

π

2

)，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．
（2）若sinθ+cosθ=

2

，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．
（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．

解答：解：（1）EH=

10

cosθ

，FH=

10

sinθ

，
EF=

EH2+FH2

=

10

sinθcosθ

(0＜θ＜

π

2

)．
由于BE=10tanθ≤10

3

，AF=

10

tanθ

≤10

3

，
所以

3

3

≤tanθ≤

3

，
所以θ∈[

π

6

，

π

3

]．
所以L=

10

cosθ

+

10

sinθ

+

10

sinθcosθ

，θ∈[

π

6

，

π

3

]．
（2）当sinθ+cosθ=

2

时，
sinθcosθ=

1

2

，
L=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

=20(

2

+1)（米）．
（3）L=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

，
设sinθ+cosθ=t，
则sinθcosθ=

t2-1

2

，
所以L=

20

t-1

．
由于θ∈[

π

6

，

π

3

]，
所以t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)∈[

1+ 3

2

，

2

]．
由于L=

20

t-1

在[

1+ 3

2

，

2

]上单调递减，
所以当t=

3 +1

2

即θ=

π

6

或θ=

π

3

时，
L取得最大值20(

3

+1)米．
答：当θ=

π

6

或θ=

π

3

时，污水净化效果最好，此时管道的长度为20(

3

+1)米．

点评：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L关于θ的函数，是解答本题的关键．