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    【题目】如图，在中，X、Y为直线BC上两点（X、B、C、Y顺次排列），使得.设的外心分别为，直线与AB、AC分别交于点U、V.证明：为等腰三角形.

    【答案】见解析

    【解析】

    证法1 如图所示，作的平分线，与BC交于点P.设的外接圆分别为.

    由内角平分线的性质知.

    由条件得.

    故

    .

    则点P对的幂相等.从而，点P在圆的根轴上.

    于是，.这表明，点U、V关于直线AP对称.

    因此，为等腰三角形.

    证法2 如图所示，设的外心为O，联结.过点分别作直线BC的垂线，垂足分别为.作于点K.

    下面证明：.

    在中，

    .

    由外心的性质，知.

    又，故.

    而分别为BC、CX的中点，则

    ，

    其中，R为的外接圆半径.

    类似地，.

    由已知条件得

    .

    由.

    类似地，.

    又因为，所以，

    ，

    .

    因此，为等腰三角形.

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    0

    2

    6

    10

    …

    －4

    8

    8

    …

    （1）求关于的函数关系式；

    （2）求该新合金材料的含量为何值时产品的性能达到最佳.

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