Question

将n个正整数1，2，3，…，n （n∈N^*）分成两组，使得每组中没有两个数的和是一个完全平方数，且这两组数中没有相同的数．那么n的最大值是

14

．

Answer 1

分析：先找出两组数之间的规律，即将某一平方数表示成两个数的之后，这两个数必不能分在同一组，再由此规律找出符合条件的最大整数即可．

解答：解：{1，2，3，4，5…n}为了将这些分成两组，使得每组中任意两数之和都不是完全数，那么将某一平方数表示成两个数的和之后，这两个数必不能分在同一组．比如9=2+7，那么2、7必须要分在不同的组．
我们假设分成的这两组数是
A={a₁，a₂…a_i}，
B={b₁，b₂，…b_j}，
那么必有 a_k∈A，而m²-a_k≠a_k时，必有 {m²-a_k}∈B （其中m=1，2，3，4，5…），
同样地，也必有b_k∈B时，而m²-b_k≠b_k时，必有 {m²-b_k}∈A （m=1，2，3，4，5…），
这样，不失一般性，我们假设2分在A组，即 a₁=2，
那么 {m²-2}∈B
b₁=3²-2=7，
b₂=4²-2=14，
b₃=5²-2=23
同样地，当 b₁=7时  {m²-7}∈A，即
{4²-7，5²-7，6²-7…}∈A，
这样，我们有：
A={1，2，9，11，4，6，8，13}
B={7，14，5，12，3，10}
这种分组方案是不可调整的，就是说，无论从A取什么数到B，B中都会出现两个数的和是完全平方数，同样地，也不能从B中取某数到A中．
所以，n的最大值是14．
故答案为：14．

点评：本题考查的是完全平方数，根据题意找出两组数之间的规律是解答此题的关键．