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    已知椭圆Γ的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，A（0，b）、B（0，-b）和Q（a，0）为Γ的三个顶点．
    （1）若点M满足
    AM
    =
    1
    2
    (
    AQ
    +
    AB
    )    ，求点M的坐标；
    （2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=-
    b2
    a2
    ，证明：E为CD的中点；
    （3）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足
    PP1
    +
    PP2
    =
    PQ
    PP1
    +
    PP2
    =
    PQ
    ？令a=10，b=5，点P的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点P1、P2满足
    PP1
    +
    PP2
    =
    PQ
    ，求点P1、P2的坐标．
    （1）∵
    AM
    =
    1
    2
    (
    AQ
    +
    AB
    )    ，
    ∴M是B（0，-b）和Q（a，0）的中点，
    ∴M(
    a
    2
    ，-
    b
    2
    )    ．
    （2）由方程组
    y=k1 x+p
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1
    ，
    消y得方程（a2k12+b2）x2+2a2k1px+a2（p2-b2）=0，
    因为直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，
    所以△＞0，即a2k12+b2-p2＞0，
    设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），
    则
    x0 =
    x1 +x2
    2
    =-
    a2k1 p
    a2
    k12
     +b2
    y0 =k1x0 +p=
    b2 p
    a2
    k12
     +b2
    ，
    由方程组
    y=k1 x+p
    y=k2 x
    ，消y得方程（k2-k1）x=p，
    又因为k2=-
    b2
    a2k1
    ，
    所以
    x=
    p
    k2 -k1
    =-
    a2k1 p
    a2
    k12
     +b2
    =x0
    y=k2 x=
    b2 p
    a2
    k12
     +b2
    =y0
    ，
    故E为CD的中点；
    （3）因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，
    所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，
    由
    PP1
    +
    PP2
    =
    PQ
    知F为P1P2的中点，
    根据（2）可得直线l的斜率k1=-
    b2
    a2k2
    ，
    从而得直线l的方程．F(1，-
    1
    2
    )    ，
    直线OF的斜率k2=-
    1
    2
    ，
    直线l的斜率k1=-
    b2
    a2k2
    =
    1
    2
    ，
    解方程组
    y=
    1
    2
    x-1
    x2
    100
    +
    y2
    25
    =1
    ，消y：x2-2x-48=0，
    解得P1（-6，-4）、P2（8，3），或P1（8，3）、P2（-6，-4），．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知直线l的方程为x=-2，且直线l与x轴交于点M，圆O：x2+y2=1与x轴交于A，B两点．
    （1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且圆孤PQ恰为圆周的
    14
    ，求直线l1的方程；
    （2）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；
    （3）过M点作直线l2与圆相切于点N，设（2）中椭圆的两个焦点分别为F1，F2，求三角形△NF1F2面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知直线l的方程为x=-4，且直线l与x轴交于点M，圆O：x2+y2=4与x轴交于A，B两点，则以l为准线，中心在坐标原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1或
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1或
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1的方程为
    x2
    4
    +y2=1    ，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
    （1）求双曲线C2的方程；
    （2）若直线l：y=kx+
    		2
    与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且
    OA
    •
    OB
    ＞2    （其中O为原点），求k的范围．
    （3）试根据轨迹C2和直线l，设计一个与x轴上某点有关的三角形形状问题，并予以解答（本题将根据所设计的问题思维层次评分）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C的方程为
    x 2
    4
    +
    y2
    3
    =1，过C的右焦点F的直线与C相交于A、B两点，向量
    m
    =(-1，-4)，若向量
    OA
    -
    OB
    与
    m
    -
    OF
    共线，则直线AB的方程是（　　）

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知椭圆C的方程为
    x 2
    4
    +
    y2
    3
    =1，过C的右焦点F的直线与C相交于A、B两点，向量
    m
    =(-1，-4)，若向量
    OA
    -
    OB
    与
    m
    -
    OF
    共线，则直线AB的方程是（　　）
    A．2x-y-2=0B．2x+y-2=0C．2x-y+2=0D．2x+y+2=0

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