Question

【题目】已知向量 =（sinx，﹣1）， =（cosx， ），函数f（x）=（ + ） ．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移 个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（ ）= ，sinB=cosA，求b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：向量 =（sinx，﹣1）， =（cosx， ），

函数f（x）=（ + ） =（sinx+cosx， ）（sinx，﹣1）

=sin2x+sinxcosx﹣ = sin2x﹣ （1﹣2sin2x）= sin2x﹣ cos2x= sin（2x﹣ ），

由2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z，

可得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

即有函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z；

（2）解：由题意可得g（x）= sin（2（x+ ）﹣ ）= sin2x，

g（ ）= sinA= ，

即sinA= ，cosA=± =± ，

在△ABC中，sinB=cosA＞0，

可得sinB= ，

由正弦定理 = ，

可得b= = =3

【解析】（1）运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；（2）运用图象变换，可得g（x）的解析式，由条件可得sinA，cosA，sinB的值，运用正弦定理计算即可得到所求值．
【考点精析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换对题目进行判断即可得到答案，需要熟知图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．