Question

若函数f（x）对任意的实数x₁，x₂∈D，均有|f（x₂-f（x₁））|≤|x₂-x₁|，则称函数f（x）是区间D上的“平缓函数”．下列函数是实数集R上的“平缓函数”的是（　　）

• A．f（x）=cosx
• B．f（x）=x²-x
• C．f（x）=（

  1

  2

  ）^x
• D．f（x）=3x-2

Answer 1

分析：新定义函数类型的题目，解答时要先充分理解定义：“平缓函数”才能答题，只需按照定义作差：
|f（x₁）-f（x₂）|，然后寻求|f（x₂）-f（x₁）|≤|x₂-x₁|成立的条件，满足则是“平缓函数”，否则举反例可说明不是“平缓函数”．

解答：解：f（x）=cosx是R上的“平缓函数，f（x）=x²-x，f（x）=(

1

2

)x，f（x）=3x-2不是区间R的“平缓函数”；
对于选项A，设φ（x）=x-cosx，则φ'（x）=1+sinx≥0，则φ（x）=x-cosx是实数集R上的增函数，
不妨设x₁＜x₂，则φ（x₁）＜φ（x₂），即x₁-cosx₁＜x₂-cosx₂，
则cosx₂-cosx₁＜x₂-x₁ ①
又y=x+cosx也是R上的增函数，则x₁+cosx₁＜x₂+cosx₂，
即cosx₂-cosx₁＞x₁-x₂ ②
由①、②得-（x₂-x₁）＜cosx₂-cosx₁＜x₂-x₁
因此|cosx₂-cosx₁|＜|x₂-x₁|，对x₁＜x₂的实数都成立，
当x₁＞x₂时，同理有|cosx₂-cosx₁|＜|x₂-x₁|成立
又当x₁=x₂时，等式|cosx₂-cosx₁|=|x₂-x₁|=0，
故对任意的实数x₁，x₂∈R，均有|cosx₂-cosx₁|≤|x₂-x₁|
因此 sinx是R上的“平缓函数；
对于选项B，由于|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁-x₂）（x₁+x₂-1）|
取x₁=3，x₂=1，则|f（x₁）-f（x₂）|=4＞|x₁-x₂|，
因此，f（x）=x²-x不是区间R的“平缓函数”；
对于选项C，由于|f（x₁）-f（x₂）|=|(

1

2

)x1-(

1

2

)x2|
取x₁=-3，x₂=-2，则|f（x₁）-f（x₂）|=4＞|x₁-x₂|，
因此，f（x）=(

1

2

)x不是区间R的“平缓函数”；
对于选项D，由于|f（x₁）-f（x₂）|=|3（x₁-x₂）|
取x₁=3，x₂=1，则|f（x₁）-f（x₂）|=6＞|x₁-x₂|，
因此，f（x）=3x-2不是区间R的“平缓函数”．
故选A．

点评：本题是新定义题，考查了函数的单调性与导数之间的关系，要判断一个函数是“平缓函数”需要严格的证明，说明一个函数不是“平缓函数”，只需举一个反例即可．此题是中档题．