Question

【题目】已知向量 =（sin（x+ ），1）， =（4，4cosx﹣ ）
（1）若 ⊥ ，求sin（x+ ）的值；
（2）设f（x）= ，若α∈[0， ]，f（α﹣ ）=2 ，求cosα的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ⊥ ，∴ =0，

∴ =4sin（x+ ）+4cosx﹣

=2 sinx+6cosx﹣

=4 sin（x+ ）﹣ =0，

∴sin（x+ ）= ，

∴sin（x+ ）=﹣sin（x+ ）=﹣ ，

（2）解：∵f（x）= =4 sin（x+ ）﹣ ，

∴f（α﹣ ）=4 sin（α+ ）﹣ =2 ，

∴sin（α+ ）= ，又α∈[0， ]，

∴α+ ∈[ ， ]，又 ＜ ＜ ，

∴α+ ∈[ ， ]，∴cos（α+ ）= ，

∴cosα=cos[（α+ ）﹣ ]= cos（α+ ）+ sin（α+ ）

= =

【解析】（1）由垂直可得数量积为0，可得sin（x+ ）= ，由诱导公式可得；（2）由已知化简可得sin（α+ ）的值，结合角的范围和同角三角函数的基本关系可得cos（α+ ）的值，而cosα=cos[（α+ ）﹣ ]= cos（α+ ）+ sin（α+ ），代入化简可得．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数量积判断两个平面向量的垂直关系和两角和与差的正弦公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证;即：两平面垂直两平面的法向量垂直；两角和与差的正弦公式：．