Question

已知F是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆x²+y²=b²相切于点Q，且

PQ

=

QF

，则椭圆C的离心率为

5

3

．

Answer 1

分析：设原点为O，左焦点为F′，连接OQ，则|F′P|=2|OQ|，利用Q为切点，可得OQ⊥PF，利用勾股定理及a²-b²=c²，即可求得结论．

解答：解：设原点为O，左焦点为F′，连接OQ  
∵O为F′F的中点，Q又为PF的中点，
∴|F′P|=2|OQ|，
∵Q为切点，
∴|OQ|=b，|F′P|=2b，OQ⊥PF
∴|PF|=2a-2b，PF′⊥PF
∴4c²=4b²+（2a-2b）²
∴3b=2a
∵a²-b²=c²，
∴a²-

4

9

a²=c²，
∴e=

5

3

故答案为：

5

3

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查直线与圆的位置关系，关键是找出几何量之间的关系．