Question

【题目】如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），

（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；
（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：设BD=x，则CD=3﹣x

∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x

∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D

∴AD⊥平面BCD

∴VA﹣BCD= ×AD×S△BCD= ×（3﹣x）× ×x（3﹣x）= （x3﹣6x2+9x）

设f（x）= （x3﹣6x2+9x） x∈（0，3），

∵f′（x）= （x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数

∴当x=1时，函数f（x）取最大值

∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大

（2）解：以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，

由（1）知，三棱锥A﹣BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2

∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（ ，1，0），且 =（﹣1，1，1）

设N（0，λ，0），则 =（﹣ ，λ﹣1，0）

∵EN⊥BM，∴ =0

即（﹣1，1，1）（﹣ ，λ﹣1，0）= +λ﹣1=0，∴λ= ，∴N（0， ，0）

∴当DN= 时，EN⊥BM

设平面BMN的一个法向量为 =（x，y，z），由 及 =（﹣1， ，0）

得 ，取 =（1，2，﹣1）

设EN与平面BMN所成角为θ，则 =（﹣ ，﹣ ，0）

sinθ=|cos＜ ， ＞|=| |= =

∴θ=60°

∴EN与平面BMN所成角的大小为60°

【解析】（1）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A﹣BCD的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角