Question

已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P₁（x₁，y₁），P₂=f（P₁），P₃=f（P₂），…，P_n=f（P_n-1），…．如果存在一个圆，使所有的点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P_n（x_n，y_n）的一个收敛圆．特别地，当P₁=f（P₁）时，则称点P₁为映射f下的不动点．若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(-x+1，

1

2

y)．
（Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；
（Ⅱ）若P₁的坐标为（2，2），求证：点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）存在一个半径为2的收敛圆．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设不动点的坐标为P₀（x₀，y₀），依据对应关系及不动点的定义，解方程组

x0=-x0+1 y0= 1 2 y0

，可得不动点的坐标．
（Ⅱ）由P_n+1=f（P_n），得

xn+1=-xn+1 yn+1= 1 2 yn

，构造两个等比数列{xn-

1

2

}(n∈N^*）和{y_n}，
写出它们的通项公式，设A(

1

2

， 1)，计算P_n到A的距离，可得此距离小于2，故所有的点P_n（n∈N^*）都在以A(

1

2

， 1)为圆心，2为半径的圆内．

解答：（Ⅰ）解：设不动点的坐标为P₀（x₀，y₀），
由题意，得

x0=-x0+1 y0= 1 2 y0

，解得x0=

1

2

， y0=0，
所以此映射f下不动点为P0(

1

2

， 0)．

（Ⅱ）证明：由P_n+1=f（P_n），得

xn+1=-xn+1 yn+1= 1 2 yn

，
所以xn+1-

1

2

=-(xn-

1

2

)， yn+1=

1

2

yn，
因为x₁=2，y₁=2，
所以xn-

1

2

≠0， yn≠0，
所以

xn+1- 1 2

xn- 1 2

=-1， 

yn+1

yn

=

1

2

，
由等比数列定义，得数列{xn-

1

2

}(n∈N^*）是公比为-1，首项为x1-

1

2

=

3

2

的等比数列，
所以xn-

1

2

=

3

2

×(-1)n-1，则xn=

1

2

+(-1)n-1×

3

2

．
同理yn=2×(

1

2

)n-1．
所以Pn(

1

2

+(-1)n-1×

3

2

， 2×(

1

2

)n-1)．
设A(

1

2

， 1)，则|APn|=

( 3 2 )2+[1-2×( 1 2 )n-1]2

，
因为0＜2×(

1

2

)n-1≤2，
所以-1≤1-2×(

1

2

)n-1＜1，
所以|APn|≤

( 3 2 )2+1

＜2．
故所有的点P_n（n∈N^*）都在以A(

1

2

， 1)为圆心，2为半径的圆内，
即点P_n（x_n，y_n）存在一个半径为2的收敛圆．

点评：本题考查映射的定义，构造等比数列并求通项公式，两点间的距离公式的应用．