Question

已知函数f(x)=x³-ax²+3x

    (Ⅰ)若函数f(x)在x∈[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

    (Ⅱ)若x=3是函数f(x)的极值点，设m＞1，求函数f(x)在[1，m]上的最小值和最大值．

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)依题意得f′(x)=3x²-2ax+3 

欲使函数f(x)在x∈[1，+∞)是增函数，

仅须或解之得  a≤3

故若f(x)在x∈[1，+∞)是增函数，实数a的取值范围为(-∞，3] 

(Ⅱ)由(Ⅰ)得f′(x)=3x²-2ax+3，且x=3是f(x)的极值点，所以f′(3)=0

且30-6a=0，所以a=5 

于是f′(x)=3x²-10x+3=3(x-3)(x)，

∴函数f(x)的另一个极值点为x=

所以，在区间(1，3)上f′(x)＜0，f(x)是减函数；

在区间(3，+∞)上f′(x)＞0，f(x)是增函数

(ⅰ)当1＜m≤3时，f(x)的最小值为f(m)=m³-5m²+3m，

最大值为f(1)=-1 

(ⅱ)令f(m)=f(1)，即m³-5m²+3m=-1

∴(m-1)(m²-4m-1)=0，

解得m=2+，m=2-(舍)，m=1(舍)

即当3＜m≤2+时，

f(x)的最小值为f(3)=-9，最大值为f(1)=-1(11分)

(ⅱ)当m＞2+时，f(x)的最小值为f(3)=-9，

最大值为f(m)=m³-5m²+3m