Question

水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为V（t）=。
（1）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期，以i-1＜t＜i表示第i月份（i=1，2，…，12），问一年内哪几个月份是枯水期？
（2）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）。

Answer 1

解：（1）①当0＜t≤10时，V（t）=（-t²+14t-40）+50＜50
化简得t²-14t+40>0，
解得t＜4，或t＞10，
又0＜t≤10，故0＜t＜4；
②当10＜t≤12时，V（t）=4（t-10）（3t-41）+50＜50，
化简得（t-10）（3t-41）＜0，
解得10＜t＜，
又10＜t≤12，
故10＜t≤12
综合得0＜t＜4，或10＜t≤12，
故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月，共6个月。
（2）由（1）知：V（t）的最大值只能在（4，10）内达到
由V′（t）=
令V′（t）=0，解得t=8（t=-2舍去）
当t变化时，V′（t）与V （t）的变化情况如下表：

由上表，V（t）在t=8时取得最大值V（8）=8e²+50=108.52（亿立方米）
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米。