Question

过双曲线左焦点，倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若线段的中点在轴上，则此双曲线的离心率为（ ）

A．

B．

C．3

D．

Answer 1

D

解析试题分析：由于线段PF₁的中点M落在y轴上，连接MF₂，则|MF₁|=|MF₂|="|PM|=" |PF₁|⇒△PF₁F₂为直角三角形，△PMF₂为等边三角形，于是|PF₁|-|PF₂|=|MF₁|=2a，|F₁F₂|="2c=" |MF₁|=2a⇒c= a，由c²=a²+b²可求得b= a，于是 双曲线的渐近线方程可求。解：连接MF₂，由过点 PF₁作倾斜角为30°，线段PF₁的中点M落在y轴上得：|MF₁|=|MF₂|═|PM|=|PF₁|，∴△PMF₂为等边三角形，△PF₁F₂为直角三角形，∵是|PF₁|-|PF₂|=|MF₁|=2a，|F₁F₂|=2c=|MF₁|=2a，∴c=a，又c²=a²+b²，∴3a²=a²+b²，∴b=a，∴双曲线的离心率为故选 D．
考点：双曲线定义的灵活应用
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，关键是对双曲线定义的灵活应用及对三角形△PMF₂为等边三角形，△PF₁F₂为直角三角形的分析与应用，属于难题．