Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）设与交点为，连接，可知点为的中点，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，由菱形的性质可得出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；

（2）设，可求得，，利用勾股定理可求得，然后以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

（1）记与交点为，连接，

，为的中点，，

又四边形为菱形，.

，平面，

又平面，所以，平面平面；

（2）设，，，

又，所以，所以，.

因为，所以在中，由勾股定理得，

即，解得，，

由（1）知，平面，平面，平面平面.

以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系.则、、、，.，

，，.

设平面的法向量为，由，则，

令，解得，，即，

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.