Question

定义域为R的函数y=f（x）满足：
①；
②函数在的值域为[m，2]，并且，当x₁＜x₂时恒有f（x₁）＜f（x₂）．
（1）求m的值；
（2）若，并且求满足条件的x的集合；
（3）设y=g（x）=2cos²x+sinx+m+2，若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应，求集合M．

Answer 1

解：（1）∵；∴f（x+π）=f（x），f（x）是以T=π的周期函数
而函数在的值域为[m，2]，并且，当x₁＜x₂时恒有f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在上单调递增，而，∴m=-2
（2）∵，∴f（x）的图象关于点（，0）对称
∵
∴＜+＜+kπ，而≤+≤
则＜+≤
∴0＜sinx≤1即满足条件的x的集合为{x|2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z}
（3）∵y=g（x）=2cos²x+sinx
∴y=g（x）=-2sin²x+sinx+2
令sinx=t∈（0，1）则y=-2t²+t+2
若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应转化成h（t）=-2t²+t+2-y=0在（0，1）上只有一解
∴h（1）•h（0）=（1-y）（2-y）＜0
解得1＜y＜2
∴集合M={y|1＜y＜2}．
分析：（1）先求出函数的周期性，然后求出函数的单调性，结合条件可求出m；
（2）根据条件可知函数f（x）的图象关于点（，0）对称，然后根据和+的自身的范围即可求出满足条件的x的集合；
（3）若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应转化成h（t）=-2t²+t+2-y=0在（0，1）上只有一解，只需h（1）•h（0）＜0即可求出集合M．
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用和三角不等式的解法，同时考查了转化的思想，属于中档题．