Question

如图甲，设正方形的边长为,点分别在上,并且满足

,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在

平面上的射影恰好在上．

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）先证（2）

【解析】

试题分析：⑴证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有，           

因为平面，平面，所以平面

⑵解法1、

如图,在图乙中作，垂足为，连接，

由于平面，则，                      

所以平面，则，                      

所以平面与平面所成二面角的平面角，     

图甲中有，又，则三点共线，     

设的中点为，则，易证，所以，，；

又由，得，            

于是，，                                

在中，，即所求二面角的余弦值为．

解法2、

如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则，                                                

所以平面，则，图甲中有，又，则三点共线，                                                     

设的中点为，则，易证，所以，则；

又由，得，               

于是，，

在中，       

作交于点，则，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则、、、，则 

显然，是平面的一个法向量，           

设是平面的一个法向量，则，即，不防取，则，                                       

设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，，所以，

平面与平面, 所成二面角的余弦值为．                                                      

考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于

中档题．