Question

【题目】设m是实数，f（x）=m﹣ （x∈R）
（1）若函数f（x）为奇函数，求m的值；
（2）试用定义证明：对于任意m，f（x）在R上为单调递增函数；
（3）若函数f（x）为奇函数，且不等式f（k3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函数f（x）=m﹣ 为奇函数，

可得f（﹣x）=m﹣ =m﹣ ，且f（﹣x）+f（x）=0，

∴2m﹣ =2m﹣2=0（注：通过f（0）=0求可以，但要验证）

∴m=1；

（2）

解：证明：设x1，x2∈R，x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=（m﹣ ）﹣（m﹣ ）= ﹣ =

∵x1，x2∈R，x1＜x2，

∴0＜2 ＜2 ，即2 ﹣2 ＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）．

则f（x）在R上为增函数．

（3）

解：由于f（x）为奇函数且在R上为增函数，

由f（k3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0得：f（k3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），

∴k3x＜﹣3x+9x+2即k＜﹣1+3x+ ，

由3x＞0，可得y=﹣1+3x+ ≥﹣1+2 =2 ﹣1，

当且仅当3x= ，即x=log3 时，取得最小值2 ﹣1，

则k＜2 ﹣1．

故实数k的取值范围是（﹣∞，2 ﹣1）．

【解析】（1）由奇函数的定义，可得f（﹣x）+f（x）=0，化简整理，解方程可得m的值（也可通过f（0）=0）；（2）运用单调性的定义证明，分取值、作差、变形和定符号、下结论等；（3）由于f（x）为奇函数且在R上为增函数，由题意可得k3x＜﹣3x+9x+2即k＜﹣1+3x+ ，运用基本不等式求得右边函数的最小值，即可得到所求k的范围．
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．