Question

对于函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得对于区间D上的一切实数x都有f（x）≤g（x）成立，则称函数g（x）为函数f（x）在区间D上的一个“覆盖函数”，设f（x）=2^x，g（x）=2x，若函数g（x）为函数f（x）在区间[m，n]上的一个“覆盖函数”，则n-m的最大值为

 

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Answer 1

分析：由题意知f（x）≤g（x）即-2^x≤2x在区间[m，n]上恒成立，在同一坐标系中同时画出两个函数的图象，进而可分析出满足条件的区间，进而得到答案．

解答：解：若函数g（x）为函数f（x）在区间[m，n]上的一个“覆盖函数”，
即f（x）≤g（x）在区间[m，n]上恒成立，
即-2^x≤2x在区间[m，n]上恒成立，
在同一坐标系中同时画出两个函数的图象如图所示：
由图可知，当x∈[1，2]时，f（x）≤g（x）
此时n-m取得最大值1
故答案为：1

点评：本题是新定义题，考查函数恒成立问题，考查分析问题解决问题的能力，对于恒成立问题往往转化为函数最值问题处理．