Question

21．设A、B别为椭圆=1（a，b＞0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4是它的右准线。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AB，BP分别与椭圆相交于异于A，B的M、N，证明点B在以MN为直径的圆内

Answer 1

本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

解：（Ⅰ）依题意得解得从而，故椭圆方程为

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），设M，M点在椭圆上，①，又M点异于顶点A、B，由P、A、M三点共线可得

从而②.将①式代入②式化简得,于是为锐角,从而为钝角,故点在以为直径的圆内.

解法2:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0),设PM,N,则直线AP的方程为,直线BP的方程为.

点M、N分别在直线AP、BP上，

从而.③

联立消去得

是方程的两要，即

又⑤

于是由③、④式代入⑤式化简可得

点在椭圆上，且异于顶点

又从而

故为钝角，即点在以为直径的圆内，

解法3：由（Ⅰ）得设则，又的中点的坐标为

，化简得，直线的方程为，直线的方程为.

点在准线上,

即⑦

又∵点在椭圆上,即

于是将⑦、⑧式代入⑥式化简可得

从而在以为直径的圆内