Question

（2013•浙江模拟）已知函数f(x)=

1

3

x3-ax+1．
（Ⅰ）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最小值；
（Ⅲ）若对任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知当x=1时，f（x）取得极值，所以必有f^′（1）=0，据此可求出a的值，再验证a的值是否满足取得的极值条件即可．
（Ⅱ）先对函数f（x）求导得f^′（x），需要对a进行分类讨论，看其在区间（0，1）或其子区间上f^′（x）与0进行比较，可得到其单调性，进而求出其最小值．
（Ⅲ）因为?m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，所以f'（x）=x²-a≠-1对x∈R成立，进而求出a的取值范围即可．

解答：解：（I）∵f'（x）=x²-a，
当x=1时，f（x）取得极值，∴f'（1）=1-a=0，a=1．
又当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在x=1处取得极小值，即a=1符合题意            
（II） 当a≤0时，f'（x）＞0对x∈（0，1]成立，
∴f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．
当a＞0时，令f'（x）=x²-a=0，x1=-

a

，x2=

a

，
当0＜a＜1时，

a

＜1，当x∈(0，

a

)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈(

a

，1)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
所以f（x）在x=

a

处取得最小值f(

a

)=1-

2a a

3

．
当a≥1时，

a

≥1，x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减
所以f（x）在x=1处取得最小值f(1)=

4

3

-a．
综上所述：
当a≤0时，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．
当0＜a＜1时，f（x）在x=

a

处取得最小值f(

a

)=1-

2a a

3

．
当a≥1时，f（x）在x=1处取得最小值f(1)=

4

3

-a．
（III）因为?m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，
所以f'（x）=x²-a≠-1对x∈R成立，
只要f'（x）=x²-a的最小值大于-1即可，
而f'（x）=x²-a的最小值为f（0）=-a
所以-a＞-1，即a＜1．

点评：深刻理解导数的几何意义及熟练利用导数求极值、最值是解题的关键．分类讨论思想和转化思想是解题常用的思想方法，应熟练掌握．