Question

已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,其中为的导函数.证明:对任意.

Answer 1

（1）
（2）在区间内为增函数;在内为减函数.
（3）构造函数借助于导数分析函数单调性，进而得到求解最值来得到证明。

解析试题分析：解析:由f(x) = 可得,而,即,解得;   4分
(Ⅱ),令可得,
当时,;当时,.
于是在区间内为增函数;在内为减函数.      8分
(Ⅲ),
(1)当时, ,.  10分
(2)当时,要证.
只需证即可
设函数.
则,
则当时,
令解得,
当时;当时,
则当时,且,
则,于是可知当时成立
综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立.          14分
另证1:设函数,则,
则当时,
于是当时,要证,
只需证即可,
设,,
令解得,
当时;当时,
则当时,
于是可知当时成立
综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立.
另证2:根据重要不等式当时,即,
于是不等式,
设,,
令解得,
当时;当时<