Question

已知实数，函数。
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；
（3）若当时，函数图象上的点均在不等式，所表示的平面区域内，求实数 的取值范围。

Answer 1

(1)单调递增；（2）≤a<0或0<a≤1；（3）.

试题分析：本题考查导数的应用，（1）判断讨论函数的单调性，可以求出其导数，然后解不等式，其解集区间是函数的单调增区间，不等式的解集区间是函数的单调减区间；（2）在区间上是增函数，说明不等式在区间上恒成立，本题中可求出，因此不等式，由于，则在上恒成立，即的最小值，记，它是二次函数，要求它的最小值，可分和讨论；（3）题意是不等式在上恒成立，记，则当时，恒成立，求其导数，当时，在上，，为减函数，不恒成立（如），时，此时要讨论与的大小，以便讨论函数的单调性，求出其最小值，因为不等式恒成立，就是.
（1）当a=1时，，
所以，                                2分
因为，所以恒成立，
所以在上单调递增；                                    3分
（2）因为，所以，
因为在[1, 4]上是增函数，所以在[1, 4]上恒成立，
即在[1, 4]上恒成立，①                                5分
令，对称轴为x=1，
因为，所以当时，要使①成立，只需g(1)≥0，解得：a≤1，所以0<a≤1，
当时，要使①成立，只需g(4)≥0，解得：a≥，所以≤a<0，
综上，≤a<0或0<a≤1；                                            8分
（3）由题意，有在上恒成立，
令，则在上恒成立，②
所以，                        10分
当a<0时，因为x>2，则，所以在上单调递减，
又因为，所以②不恒成立，                12分
当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以只需，解得：，
所以时②恒成立；                                            14分
当时，，此时在上单调递增，
所以，
因为，所以，所以②不恒成立，
综上，实数 的取值范围是：。                        16分