Question

已知g（x）=

x

+1，h（x）=

1

x+3

，x∈（-3，a²]（a为常数且a＞0）．令f（x）=g（x）•h（x）
（1）求f（x）的表达式；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）已知两函数相乘可得f（x）=g（x）•h（x）的解析式，注意定义域即可；（2）换元，令

x

+1=t，代入已知函数可得y=

1

t+ 4 t -2

，构造函数F（t）=t+

4

t

，t∈[1，a+1]，求导数可得单调性，分类讨论可得函数的值域．

解答：解：（1）∵g（x）=

x

+1，h（x）=

1

x+3

，x∈（-3，a²]，
∴f（x）=g（x）•h（x）=

x +1

x+3

，x∈[0，a²]，
（2）令

x

+1=t，则t∈[1，a+1]，x=（t-1）²，
代入已知函数可得y=

t-1+1

(t-1)2+3

=

t

t2-2t+4

=

1

t+ 4 t -2

，
令F（t）=t+

4

t

，t∈[1，a+1]，求导数可得F′（t）=1-

4

t2

，
令F′（t）=1-

4

t2

＜0可得t＜2，结合t的范围可得
F（t）=t+

4

t

，在t∈[1，2]单调递增，[2，+∞）单调递减，
∴当a+1≤2，即a≤1时，t=a+1时，y取最大值

a+1

a2+3

，
同理当a+1＞2，即a＞1时，若1＜a≤3，则y最大值为

1

2

，最小值为

1

3

若a＞3，y最大值为

1

2

，最小值为

a+1

a2+3

点评：本题考查函数解析式的求解，涉及函数的值域以及分类讨论的思想，属中档题．