Question

【题目】已知函数（a＞0）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）证明：对任意x∈[1，＋∞），有f（x）≤2x－a2．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

(1)对函数求导，分情况讨论导函数的正负，进而得到单调区间；（2）构造函数，对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的最值，证明函数的最大值小于0即可.

（1）解：．

①当0＜a≤1时，由f'（x）＜0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＜0，

解得；

由f'（x）＞0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＞0，解得．

故函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，＋∞）．

②当a＞1时，由f'（x）＜0，得或；

由f'（x）＞0，得．

故函数f（x）的单调递减区间为（0，），（，＋∞），单调递增区间为．

（2）证明：构造函数，

则．

因为Δ＝（2a）2－4（1＋a2）＜0，

所以（1＋a2）x2－2ax＋1＞0，即g'（x）＜0．

故g（x）在区间[1，＋∞）上是减函数．

又x≥1，所以g（x）≤g（1）＝－（1＋a2）＋1＋a2＝0．

故对任意x∈[1，＋∞），有f（x）≤2x－a2．