Question

（2006•朝阳区一模）已知函数f(x)=

ax

x2+b

，在x=1处取得极值为2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上为增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若P（x₀，y₀）为f(x)=

ax

x2+b

图象上的任意一点，直线l与f(x)=

ax

x2+b

的图象相切于点P，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意对函数求导，然后利用极值的概念列出关于a，b的方程，求解即可；
（II）由题意应该先求具体函数的单调增区间，然后利用已知的条件及集合的思想，建立的m取值范围的不等式組求解即可；
（III）找出直线l的斜率k=f′（x₀），再利用换元法求出k的最小值和最大值，即可得到直线l的斜率的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）已知函数f(x)=

ax

x2+b

，
∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

又函数f（x）在x=1处取得极值2，
∴

f′(1)=0 f(1)=2

即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

⇒

a=4 b=1

∴f(x)=

4x

x2+1

…（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4-4x2

(x2+1)2

由f'（x）＞0，得4-4x²＞0，
即-1＜x＜1所以f(x)=

4x

x2+1

的单调增区间为（-1，1）
因函数f（x）在（m，2m+1）上单调递增，则有

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

，
解得-1＜m≤0即m∈（-1，0]时，函数f（x）在（m，2m+1）上为增函数…（8分）
（Ⅲ）∵f(x)=

4x

x2+1

&∴f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

直线l的斜率k=f′(x0)=

4( x 2 0 +1)-8 x 2 0

( x 2 0 +1)2

，即k=4[

2

( x 2 0 +1)2

-

1

x 2 0 +1

]，令

1

x 2 0 +1

=t，t∈(0，  1]，
则k=4（2t²-t），t∈（0，1]
∴k∈[-

1

2

，  4]，
即直线l的斜率k的取值范围是[-

1

2

，  4]…（14分）．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及计算能力，解答的关键是导数工具的灵活运用．