Question

如图所示的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列．

	第1列	第2列	第3列	第4列	第5列	…
第1行	1		2			…
第2行	1 2		1			…
第3行			a			…
第4行				b		…
第5行					c	…
…	…	…	…	…	…	…

（1）求b+c-a的值；
（2）设第3列数从上到下形成的数列是{a_n}，第3行数从左到右形成的数列是{b_n}，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据已知横行成等差数列，数列成等比数列及表格中所提供的数据可把每一表格的每一个数据求解出来，从而可求出a，b，c的值；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法，即可求数列{a_nb_n}的和．

解答：解：（1）第1行前5个数依次为1，

3

2

，2，

5

2

，3，…（1分）
第2行前5个数依次为

1

2

，

3

4

，1，

5

4

，

3

2

…（2分）
∵每列是等比数列，
∴a=

1

2

，b=

5

2

×(

1

2

)3=

5

16

，c=3×（

1

2

)4⁴=

3

16

…（5分）
∴b+c-a=

5

16

+

3

16

-

1

2

=0…（6分）
（2）∵a_n=2×(

1

2

)n-1，bn=

1

8

(n+1)…（8分）
∴a_nb_n=（n+1）(

1

2

)n+1…（9分）
∴S_n=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+（n+1）(

1

2

)n+1

1

2

S_n=2×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n+1+（n+1）(

1

2

)n+2
相减得

1

2

S_n=2×(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n+1-（n+1）(

1

2

)n+2=

3

4

-（n+3）(

1

2

)n+2
∴S_n=

3

2

-(n+3)(

1

2

)n+1…（12分）

点评：本题是等差数列与等比数列的定义的最基本的应用，其关键是要根据表格中提供的数据求解出每一行及每一列中的数据，属于中档题．