Question

（1）设f（θ）=

2cos3θ+sin2(2 π-θ)+sin( π 2 +θ)-3

2+2cos2(π+θ)+cos(-θ)

，求f（

π

3

）的值；
（2）已知

2sinθ+cosθ

sinθ-3cosθ

=-5，求 sin²θ-3sinθcosθ+4cos²θ的值．

Answer 1

分析：（1）首先利用诱导公式化简原式，然后将

π

3

代入并用特殊三角函数值求出结果．
（2）由cosθ不等于0，在已知的等式的左边的分子分母都除以cosθ，得到关于tanθ的方程，求出方程的解即可得到tanθ的值，然后把所求的式子写成分母为“sin²θ+cos²θ=1”的分式，再化为关于tanθ的式子后，将tanθ的值代入即可求出值．

解答：解：（1）原式=

2cos3θ+sin2θ+cosθ-3

2+2cos2θ+cosθ

=

2cos3θ+1-cos2θ+cosθ-3

2+2cos2θ+cosθ

=

2(cosθ-1)(cos2θ+cosθ+1)-cosθ(cosθ-1)

2+2cos2θ+cosθ

=

(cosθ-1)(2cos2θ+2cosθ-cosθ+2)

2+2cos2θ+cosθ

=cosθ-1
∵cos

π

3

=

1

2

∴f（

π

3

）=

1

2

-1=-

1

2

（2）∵

2sinθ+cosθ

sinθ-3cosθ

=-5，，且cosθ≠0（否则2=-5），
∴

2tanθ+1

tanθ-3

=-5（　　）
解得：tanθ=2
原式=

sin2θ-3sinθcosθ+4cos2θ

sin2θ+cos2θ

=

tan2θ-3tanθ+4

tan2θ+1

=

22-3×2+4

22+1

=

2

5

点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及弦切互化公式化简求值，是一道中档题．