Question

已知A、B两点在抛物线C：x²=4y上，点M（0，4）满足

MA

=λ

BM

．
（1）求证：

OA

⊥

OB

；
（2）设抛物线C过A、B两点的切线交于点N．
①求证：点N在一条定直线上；
②设4≤λ≤9，求直线MN在x轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析：先设A，B的坐标和直线AB的方程，再联立直线与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程得到两根之和与两根之积．
（1）根据向量的数量积运算表示出

OA

•

OB

，然后将所求的两根之和与两根之积代入即可得到：

OA

•

OB

=0，进而的得证．
（2）①先表示出过点A的切线和过点B的切线，然后两直线联立可求出点N的坐标，即可得到点N在定直线y=-4上．
②根据

MA

=λ

BM

可知（x₁，y₁-4）=λ（-x₂，4-y₂），进而可联立方程可求得k²的表达式，进而求得k²的范围，最后根据直线MN在x轴的截距为k，进而可得答案．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l_AB：y=kx+4与x²=4y联立得x²-4kx-16=0，
△=（-4k）²-4（-16）=16k²+64＞0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16，
（1）证明：

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+4）（kx₂+4）
=（1+k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16
=（1+k²）（-16）+4k（4k）+16=0，
∴

OA

⊥

OB

．
（2）①证明：过点A的切线：
y=

1

2

x₁（x-x₁）+y₁=

1

2

x₁x-

1

4

x₁²，①
过点B的切线：y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²，②
联立①②结合（1）的结论得点N（

x1+x2

2

，-4），
所以点N在定直线y=-4上．
②∵

MA

=λ

BM

，∴（x₁，y₁-4）=λ（-x₂，4-y₂），
联立可得

x1=-λx2 x1+x2=4k x1x2=-16

k²=

(1-λ)2

λ

=

λ2-2λ+1

λ

=λ+

1

λ

-2，4≤λ≤9，
∴

9

4

≤k²≤

64

9

．
直线MN：y=

-8

2k

x+4在x轴的截距为k，
∴直线MN在x轴上截距的取值范围是
[-

8

3

，-

3

2

]∪[

3

2

，

8

3

]．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．涉及了抛物线的性质，向量的计算，不等式等知识．