Question

如图，直三棱柱中，，，D、E分别是棱、的中点．

(1)求点B到平面的距离；

(2)求二面角的大小；

(3)在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面？若存在，确定其位置并证明结

的距离；

Answer 1

答案：
解析：

(1)　∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴CC⊥底面ABC 　　∵CC1⊥BC　　　　１分 　　∵AC⊥BC，BC⊥平面A1B1CＡ　　　　　3分 　　∵CB＝2∴点B到平面A1B1CＡ的距离为2　　　　4分 　　(2)分别延长AC、A1D交于点G，过C作CM　⊥　A1Ｇ于M，连结BM　　　　5分 　　∵BC⊥平面A1B1CＡ，∴CM为BM在平面A1B1CＡ内的射影，BM⊥B1C 　　∴∠CMB为二面角B－A1D－A的平面角　　　　　　6分 　　在平面A1B1CＡ中，∵C1C＝CA＝2，D，D为C1C的中点 　　∴GG＝2，DC＝1，在直角△CDG中， 　　∴，即二面角B－A1D－A的大小为　　　　　　8分 　　(3)上存在一点F，使得EF⊥平面A1BD，其位置为AC的中点 证明如下：　　　　9分 　　∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴∥ 　　由(1)，知平面，∴⊥平面， 　　∴EF在平面内的射影为 　　∵F为AC的中点∴∴　　　　　　11分 　　同理可证∴平面 　　∵E为定点，平面为定平面∴点F唯一　　　　　　12分 　　解二(向量法，B版本) 　　(1)同解一 　　(2)在直三棱柱中，，分别以向量、、所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由， D、E分别是棱、的中点，得C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，(0，0，2)，(2，0，2)， 　　(3)(0，2，2)，D(0，0，1)，E(1，0，2)　　　　　　5分 　　∴，0，1)，，2，2)，设平面的一个法向量为，则 　　　即 　　解得，，即，，2)　　　　　　6分 　　又 平面的一个法向量为(1，0，0) 　　∴＜，＞=， 　　即二面角的大小为　　　　　　8分 　　(3)由F是线段AC的中点，得F(0，1，0)，则=(1，，2)， 　　∵，，2)，＝ 　　∴∥，又，，2)为平面的一个法向量， 　　所以⊥平面，即EF⊥平面．　　　　　　12