Question

定义在R上的函数y=f（x）满足，，任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer 1

【答案】分析：由题意可得y=f（x）的图象关于直线x=对称，在（，+∞）上是增函数，在（-∞，）上是减函数．
根据任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），可得 x₁+x₂＜5． 由x₁+x₂＜5可得x₂ -＜-x₁，即x₁离对称轴较远，
故f（x₁）＞f（x₂），由此得出结论．
解答：解：∵，∴f（x）=f（5-x），即函数y=f（x）的图象关于直线x=对称．
又因，故函数y=f（x）在（，+∞）上是增函数．
再由对称性可得，函数y=f（x）在（-∞，）上是减函数．
∵任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），故x₁和x₂在区间（-∞，）上，∴x₁+x₂＜5．
反之，若 x₁+x₂＜5，则有x₂ -＜-x₁，故x₁离对称轴较远，x₂ 离对称轴较近，
由函数的图象的对称性和单调性，可得f（x₁）＞f（x₂）．
综上可得，“任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的充要条件，
故选C．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的图象的对称性的应用，充分条件、必要条件、充要条件的定义，
属于中档题．