Question

【题目】已知函数，在区间上有最大值，最小值，设函数.

（1）求的值；

（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用二次函数闭区间上的最值，通过a与0的大小讨论，列出方程，即可求a，b的值；

（2）转化不等式f（2x）﹣k2x≥0，为k在一侧，另一侧利用换元法通过二次函数在x∈[﹣1，1]上恒成立，求出最值，即可求实数k的取值范围；

（3）化简方程f（|2x﹣1|）+k（3）＝0，转化为两个函数的图象的交点的个数，利用方程有三个不同的实数解，推出不等式然后求实数k的取值范围．

解：（1）g（x）＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，

∵a＞0，∴g（x）在[2，3]上为增函数，

故，可得 ，．

∴a＝1，b＝0

（2）方程f（2x）﹣k2x≥0化为2x2≥k2x，

k≤1

令t，k≤t2﹣2t+1，

∵x∈[﹣1，1]，∴t，记φ（t）＝t2﹣2t+1，

∴φ（t）min＝φ（1）＝0，

∴k≤0．

（3）由f（|2x﹣1|）+k（3）＝0

得|2x﹣1|（2+3k）＝0，

|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，|2x﹣1|≠0，

令|2x﹣1|＝t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），

∵方程|2x﹣1|（2+3k）＝0有三个不同的实数解，

∴由t＝|2x﹣1|的图象（如图）知，

t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1，

记φ（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），

则或　

∴k＞0．