Question

【题目】设，函数．

若无零点，求实数k的取值范围；

若有两个相异零点，求证：．

Answer 1

【答案】1；2见解析.

【解析】【试题分析】(1)求出函数的定义域后对函数求导,对分类讨论函数的单调区间,结合函数没有零点,可求得的取值范围.(2)设出两个零点,代入函数表达式,将要证明的不等式转化为证明，构造函数,利用导数求得的最小值大于零,由此证得原不等式成立.

【试题解析】

解：函数的定义域为，

若时，则是区间上的增函数，

，

，函数在区间有唯一零点；

若有唯一零点；

若，令，得，

在区间上， ，函数是增函数；

在区间上，，函数是减函数；

故在区间上，的极大值为，

由于无零点，须使，解得，

故所求实数k的取值范围是；

证明：设的两个相异零点为，设，

，

，

故欲证，只需证，

即，即证，

设，上式转化为，

设，

，

在上单调递增，

，

．