Question

若对满足条件3x+3y+8=2xy（x＞0，y＞0）的任意x、y，（x+y）²-a（x+y）+16≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A、（-∞，8]

B、[8，+∞）

C、（-∞，10]

D、[10，+∞）

Answer 1

分析：利用基本不等式把已知的等式变形得到关于x+y的不等式，求解不等式得到x+y的范围，换元后由，（x+y）²-a（x+y）+16≥0恒成立分类讨论求解a的取值范围．

解答：解：由3x+3y+8=2xy，得3（x+y）+8=2xy≤

(x+y)2

2

，
即（x+y）²-6（x+y）-16≥0，解得-2≤x+y≤8．
令t=x+y，则-2≤t≤8．
则问题变成了t²-at+16≥0对t∈[-2，8]恒成立，
若△=（-a）²-4×16≤0，即-8≤a≤8，不等式显然成立，
若△＞0，即a＜-8或a＞8，
则

a 2 ＞8 82-8a+16≥0

①或

a 2 ＜-2 (-2)2+2a+16≥0

②
解得8＜a≤10或a≤-8．
综上，实数a的取值范围是（-∞，10]．
故选C．

点评：本题考查了不等式中含参数的范围问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了“三个二次”结合求解三叔的范围问题，是中档题．