Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|²+|OB|²＜|AB|²，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以|OF|=

3

2

|MN|，由此能够推导出椭圆方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，由题意知恒有|OA|²+|OB|²＜|AB|²．
（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：x=my+1，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，
由题设条件能够推导出

OA

•

OB

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂＜0恒成立．由此入手能够推导出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，
因为△MNF为正三角形，所以|OF|=

3

2

|MN|，
即1=

3

2

•

2b

3

，解得b=

3

.a²=b²+1=4，因此，椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1.
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，
|OA|²+|OB|²=2a²，|AB|²=4a²（a²＞1），
因此，恒有|OA|²+|OB|²＜|AB|²．
（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为：x=my+1，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，
整理得（a²+b²m²）y²+2b²my+b²-a²b²=0，
所以y1+y2=

2b2m

a2+b2m2

，y1y2=

b2-a2b2

a2+b2m2

因为恒有|OA|²+|OB|²＜|AB|²，所以∠AOB恒为钝角．
即

OA

•

OB

=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2＜0恒成立．
x₁x₂+y₁y₂=（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1
=

(m2+1)(b2-a2b2)

a2+b2m2

-

2b2m2

a2+b2m2

+1
=

-m2a2b2+b2-a2b2+a2

a2+b2m2

＜0.
又a²+b²m²＞0，所以-m²a²b²+b²-a²b²+a²＜0对m∈R恒成立，
即a²b²m²＞a²-a²b²+b²对m∈R恒成立．
当m∈R时，a²b²m²最小值为0，所以a²-a²b²+b²＜0．
a²＜a²b²-b²，a²＜（a²-1）b²=b⁴，
因为a＞0，b＞0，所以a＜b²，即a²-a-1＞0，
解得a＞

1+ 5

2

或a＜

1- 5

2

（舍去），即a＞

1+ 5

2

，
综合（i）（ii），a的取值范围为（

1+ 5

2

，+∞）．

点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，不等式的解法等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．