Question

已知f（x）=log_a

1-x

1+x

，（a＞0且a≠1）．
（1）若m，n∈（-1，1），求证f（m）+f（n）=f（

m+n

1+mn

）；
（2）判断f（x）在其定义域上的奇偶性，并予以证明；
（3）确定f（x）在（0，1）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）欲证f（m）+f（n）=f（

m+n

1+mn

）成立，把左右两边分别代入函数表达式，左边利用对数的运算性质进行化简，可变形为log_a

1-m-n+mn

1+m+n+mn

，再通过真数的分子分母都除以1+mn，即可化简成右边的形式，命题得证．
（2）利用函数奇偶性的变形形式，即只需证明f（-x）+f（x）=0，则函数必为奇函数，利用对数函数的运算性质，化简f（-x）+f（x）即可．
（3）利用单调性的定义证明，只需设函数在（0，1）上任意两个x₁，x₂，且x₁＜x₂，再作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小即可，作差后一定要将差分解为几个因式的乘积的形式，再判断每一个因式的符号，根据负因式的个数判断积的符号，最后得出结论．

解答：解：（1）∵f（x）=log_a

1-x

1+x

，∴

1-x

1+x

＞0⇒-1＜x＜1
  m，n∈（-1，1），∴f（m）+f（n）=log_a

1-m

1+m

+log_a

1-n

1+n

=log_a（

1-m

1+m

•

1-n

1+n

）
=log_a

1-m-n+mn

1+m+n+mn

=log_a

1+mn-m-n 1+mn

1+mn+m+n 1+mn

=log_a

1- m+n 1+mn

1+ m+n 1+mn

=f（

m+n

1+mn

）   
（2）∵f（-x）+f（x）=log_a

1+x

1-x

+log_a

1-x

1+x

=log_a

1+x

1-x

•

1-x

1+x

=log_a1=0，
∴f（x）在其定义域（-1，1）上为奇函数．   
（3）设0＜x₁＜x₂＜1，f（x₁）-f（x₂）=log_a

1-x1

1+x1

-log_a

1-x2

1+x2

=log_a

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x2

=log_a

1+x2-x1-x1x2

1+x1-x2-x1x2

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴1+x₂-x₁-x₁x₂＞1+x₁-x₂-x₁x₂＞0⇒

1+x2-x1-x1x2

1+x1-x2-x1x2

＞1
∴当0＜a＜1，f（x₁）-f（x₂）＜0，从而f（x）在（0，1）上为增函数；
当a＞1，f（x₁）-f（x₂）＞0，从而f（x）在（0，1）上为减函数．

点评：本题主要考查了函数奇偶性与单调性的证明，属于概念考查题，做题时严格按照步骤去做．