Question

【题目】对整点25边形的顶点作三染色．求证：存在一个三顶点同色的三角形，它的重心也是整点．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

对25个顶点作三染色，必有9个顶点同色，不妨设同为红色．

下面证明：必存在一个三顶点均为红色的，其重心也是整点．

（1）若的横（纵）坐标中有五个模3同余，不妨设．

此时，由于中必有三个数其和能被3整除，

设．

则的重心也是整点．

同理，若纵坐标中有五个模3同余，结论同样成立．

（2）若的横坐标中任意五个模3不同余，且纵坐标中任意五个也模3不同余，则被3除时，余数取遍0，1，2．

同理，被3除时，余数也取遍0，1，2．

从而，中至少有两种余数出现3次，不妨设

，

．

此时，若或有一个成立，则命题已真．

否则，对模3恰有两个余数（记为，且）．

同理，对模3也恰有两个余数（或为或为，或为）．也就是说对模3的余数只有两种可能：

（i）包括全部；

（ii）只包括，但每一个重复2~4次．

此时，取，使．

于是，存在，使，

且，其中之一成立

从而，的重心也是整点．