Question

【题目】已知函数f（x）=kx（k≠0），且满足f（x+1）f（x）=x2+x，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）为R上的增函数，h（x）= （f（x）≠1），问是否存在实数m使得h（x）的定义域和值域都为[m，m+1]？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x+1）f（x）=k（x+1）kx=k2（x2+x）

所以（k2﹣1）（x2+x）=0对一切x恒成立，k2﹣1=0，得k=±1；

故f（x）=±x；

（2）解：因f（x）为R上的增函数，

所以f（x）=x，则

而h（x）在（﹣∞，1）和（1，﹣∞）上是减函数，

于是h（x）在[m，m+1]上单调递减，

则 解得m=﹣1或m=2

【解析】（1）利用f（x+1）f（x）=x2+x，对一切x恒成立，得到k；（2）由（1）得到k为1，即f（x）的解析式，代入h（x），判断函数在[m，m+1]的单调性，得到关于m的方程组解之．