Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时， 在为增函数， 在为减函数；当时, 在为增函数，在为减函数；（2）.

【解析】试题分析：（1）先求出函数导数，根据导函数符号的判定来下结论，因为此时导函数分子带参数无法确定符号，故进行讨论，通常根据参数大于0，等于0，小于0一一讨论定号即可得出单调性，但要注意定义域的限制；（2）恒成立问题通常转化最值问题求解，求参数取值范围我们一般会优先考虑参数分离形成新函数求最值，本题即可在上恒成立， 即在上恒成立。，接下来分析函数 在上的最大值即可得出结论

解析：（1）由题知： ,

当m≤0时， >0在x∈(0，＋∞)时恒成立,

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.

当m>0时, ,

令f′(x)>0，则 ；令f′(x)<0, 则.

∴f(x)在为增函数，f(x)在为减函数.

(2)法一：由题知： 在上恒成立，

即在上恒成立。

令，所以

令g′(x)>0，则；令g′(x)<0，则.

∴g(x)在上单调递增，在上单调递减.

∴ ,∴.

法二：要使f(x) ≤0恒成立，只需,

（1）当m≤0时，f(x)在[1,e]上单调递增，所以 ,

即，这与m≤0矛盾，此时不成立.

（2）当m>0时,

① 若即时，f(x)在[1，e]上单调递增，

所以，即， 这与矛盾，此时不成立.

②若1< 即时，f(x)在上单调递增，在上单调递减 .

所以即,

解得 ，又因为，所以 ,

③ 即m 2时，f(x)在 递减，则,

∴ 又因为，所以m 2,综上 .