Question

设集合M={x||x-a|≤（a-1）²}，N={x|x²-3ax+3a-1≤0}，且M∪N=N，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：把集合M中的不等式去绝对值，集合N中的不等式因式分解，然后根据M和N的关系对a分类讨论求解a的范围．

解答：解：由|x-a|≤（a-1）²，得-a²+3a-1≤x≤a²-a+1．
又x²-3ax+3a-1=（x-3a+1）（x-1）．
由M∪N=N，∴M⊆N．
（1）当a≤

2

3

时，N={x|3a-1≤x≤1}．
由M⊆N，
得

-a2+3a-1≥3a-1 a2-a+1≤1

，解得a=0；
（2）当a＞

2

3

时，N={x|1≤x≤3a-1}．
由M⊆N，
得

-a2+3a-1≥1 a2-a+1≤3a-1

，解得

1≤a≤2 2- 2 ≤a≤2+ 2

，所以1≤a≤2．
综上，a的取值范围是1≤a≤2或a=0．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了并集及其运算，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．