Question

如图，已知△ABC的外角∠EAC的平分线与△ABC的外接圆交于点D，以CD为直径的圆分别交BC，CA于点P、Q，求证：线段PQ平分△ABC的周长．

Answer 1

分析：如图，连接DB，DP，DQ，PQ．利用四边形外接圆的性质、角平分线的性质可得∠DBC=∠DCB，故△DBC为等腰三角形．于是DP⊥BC，则CP=

1

2

BC．在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理得：AC•BD=BC•AD+AB•CD，及BD=CD，可得AC-AB=

BC•AD

BD

=

2BP•AD

BD

，又DQ⊥AC，可得△ADQ∽△BDP，可得

AQ

BP

=

AD

BD

，即AQ=

BP•AD

BD

．故AC-AB=2AQ，即AQ=

AC-AB

2

．可得CQ+CP=（AC-AQ）+

1

2

BC，把AQ代入即可．

解答：证：如图，连接DB，DP，DQ，PQ．
∵∠ABD=∠ACD，∠EAC=∠ABC+∠ACB，
∴∠EAC=∠DBC+∠DCB，即：2∠DAC=∠DBC+∠DCB；
又∠DAC=∠DBC，∴∠DBC=∠DCB，故△DBC为等腰三角形．
∵DP⊥BC，则CP=

1

2

BC．
在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理得：AC•BD=BC•AD+AB•CD，
∵BD=CD，∴AC-AB=

BC•AD

BD

=

2BP•AD

BD

，
又DQ⊥AC，∴△ADQ∽△BDP，
∴

AQ

BP

=

AD

BD

，即AQ=

BP•AD

BD

．
故AC-AB=2AQ，即AQ=

AC-AB

2

．
∴CQ+CP=（AC-AQ）+

1

2

BC=(AC-

AC-AB

2

)+

1

2

BC=

1

2

（AB+BC+CA）．

点评：本题考查了四边形外接圆的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、托勒密定理、相似三角形的性质等基础知识与基本方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．