Question

【题目】定义两个函数的关系：函数的定义域分别为，若对任意的，总存在，使得，我们就称函数为的“子函数”．已知函数，，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若为的一个“子函数”，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，（2）．

【解析】

（1）求导，令，可得的单调递增区间；令，可得的单调递减区间；

（2）根据的单调性求出的取值范围，进而得到，即有实数解，从而得到，令，可得，令，则，，利用换元法和函数的单调性即可得出结果.

（1），函数的定义域为，

，

令，即，解得，

所以函数的单调递增区间为；

令，即，解得，

所以函数的单调递减区间为，

综上，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由（1）知，当时，函数取得极小值，即最小值，

所以，

当时，，

且为连续函数，只需，

即有实数解，

即，因为，

则，

令，

即在区间上有实数解，

将看成直线上的点，

令，则，，

令，则，

所以的最小值为.