医学上为研究某种传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防.将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验.经检测.病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物.将可杀死其体内该病毒细胞的98%．(Ⅰ) 为了使小白鼠在实验过程中不死亡.第一次最迟应在何时注射� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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医学上为研究某种传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过10⁸的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．
（Ⅰ）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）
（Ⅱ）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）
（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）

天数x	病毒细胞总数y
1	1
2	2
3	4
4	8
5	16
6	32
7	64
…	…

分析：（Ⅰ）由题意病毒细胞总数y关于时间x的函数关系式为y=2^x-1（其中x∈N^*），解不等式由2^x-1≤10⁸，即可求得结果；（Ⅱ）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为2²⁶×2%，则再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为2²⁶×2%×2^x，由题意解不等式2²⁶×2%×2^x≤10⁸，即可求得结果．

解答：解：（Ⅰ）由题意病毒细胞总数y关于时间x的函数关系式为y=2^x-1（其中x∈N^*），（3分）
则由2^x-1≤10⁸，两边取常用对数得（x-1）lg2≤8，从而x≤

lg2

+1=27.58（6分）
即第一次最迟应在第27天注射该种药物．（7分）
（Ⅱ）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为2²⁶×2%，（8分）
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为2²⁶×2%×2^x，（10分）
由题意2²⁶×2%×2^x≤10⁸，（11分）
两边取常用对数得26lg2+lg2-2+xlg2≤8，解得x≤6.2（13分）
故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．（14分）

点评：此题是个中档题．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一，同时考查学生的阅读能力和计算能力．

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