Question

设p是质数，且p²+71的不同正因数的个数不超过10个，求p．

Answer 1

分析：首先代入最小的质数2及质数3验证，满足题意，然后讨论P大于3时，由p²+71=p²-1+72=（p-1）（p+1）+72，
结合质数p必为3k±1型的奇数得到p²+71是24的倍数，即p²+71=24×m，m≥4．然后分m中有不同于2、3的质因数，m中含有质因数3，m中仅含有质因数2进行分析p²+71的正因数的个数，从而得到答案．

解答：解：当p=2时，p²+71=75=25×3=5²×3．
∵5²的正因数有1，5，25，即5⁰，5¹，5²，有（2+1）=3个，3的正因数有1，3，即3⁰，3¹，有（1+1）=2个，由分步乘法计数原理得，p²+71共有正因数（2+1）（1+1）=6个，故p=2满足要求．
当p=3时，p²+71=80=16×5=2²×3．
∵2⁴的正因数有1，2，4，8，16，即2⁰，2¹，2²，2³，2⁴，有（4+1）=5个，3的正因数有1，3，即3⁰，3¹，有（1+1）=2个，由分步乘法计数原理得，p²+71共有正因数（4+1）（1+1）=10个，故p=3满足要求．．    
当p＞3时，p²+71=p²-1+72=（p-1）（p+1）+72．质数p必为3k±1型的奇数，
p-1、p+1是相邻的两个偶数，且其中必有一个是3的倍数．∴（p-1）（p+1）是24的倍数，
从而p²+71是24的倍数．   
设p²+71=24×m，m≥4．
若m有不同于2、3的质因数，则p²+71的正因数个数大于等于（3+1）（1+1）（1+1）＞l0；
若m中含有质因数3，则p²+71的正因数个数大于等于（3+1）（2+1）＞10；
若m中仅含有质因数2，则p²+71的正因数个数大于等于（5+1）（1+1）＞10；
∴p＞3不满足条件．
综上所述，所求得的质数p是2或3．
质数p为2或3．

点评：本题考查了进行简单的演绎推理，训练了反证法思想，解答的关键是如何求出一个正整数的正因数个数，有如下规律：若正整数n=p1a1•p2a2…pkak，（p₁，p₂，…p_k均为素数，a₁，a₂，…a_k均为正整数），则正整数n的正因数有（a₁+1）（a₂+1）…（a_k+1）个．属中档题．