Question

如图：矩形ABCD，PD⊥平面ABCD，PD=DA，E、F分别是CD、PB的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAB；
（2）（理）若AB=

2

BC，求二面角P-AC-D的大小．
     （文）求PD与平面PAB所成的角．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，分别求出直线所在的向量与平面内两条相交直线所在的向量，再利用向量的运算得到其数量积均为0，进而得到线面垂直．
（2）（理）由题意可设|AB|=

2

，BC=1，过点D作DH⊥AC于H，连PH，根据线面垂直可证明∠PHD为二面角的平面角θ，再利用技术三角形的有关知识求出答案即可．
（3）过D作DM⊥PA于M（M为PA的中点），根据线面垂直的偶的定理可得：AB⊥平面PAD，再结合面面垂直的判定定理可得：平面PAB⊥平面PAD，然后结合面面垂直的性质定理可得：DM⊥面PAB，
得到∠DPM为PD与平面PAB所成的角，进而利用解三角形的有关知识求出答案即可．

解答：解：（1）以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

设|AB|=a，|PD|=|DA|=1，所以E（0，

a

2

，

1

2

），F（

1

2

，

a

2

，

1

2

），P（0，0，1），A（1，0，0），B（1，a，0），
所以

EF

=(0，

1

2

，

1

2

)，

PA

=(a，1，-1)，

AB

=(a，0，0)，
所以

EF • PA =0 EF • AB =0

，
所以EF⊥面PAB．
（2）（理）由题意可设|AB|=

2

，BC=1，
过点D作DH⊥AC于H，连PH，
因为PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以AC⊥PD，
所以∠PHD为二面角的平面角θ，
在Rt△PDH中，|PD|=1，|DH|=

|CD|•|AD|

|AC|

=

6

3

，
所以tan∠PHD=

PD

DH

=

1

6 3

=

6

2

，
所以θ=arctan

6

2

，即二面角的大小为arctan

6

2

．
（文）过D作DM⊥PA于M（M为PA的中点），
因为四边形ABCD为矩形，
所以AB⊥AD，
又因为PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥PD，
所以根据线面垂直的判定定理可得：AB⊥平面PAD．
因为AB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD，
又因为平面PAB∩平面PAD=AP，DM⊥PA，DM?平面PAD，
所以DM⊥面PAB，
所以∠DPM为PD与平面PAB所成的角，
在Rt△PDH中，|PD|=1，|PM|=

2

2

，
所以PD与平面PAB所成的角为

π

4

．

点评：本题考查利用向量的数量积证明线面垂直，以及求二面角的平面角与线面角，而空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键，此题也可以根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系利用向量的有关知识解决空间角等问题．