Question

4．用0，1，2，3，4，5，6这七个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比31560大的五位数？

Answer 1

分析 （1）根据题意，分3步进行分析：①、个位从1，3，5选择一个，②、千位数字不可选0，从剩下的5个中选一个，③、在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位数字，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（2）分2种情况讨论：①、个位数上的数字是0，②个位数上的数字是5，分别求出每一种情况的五位数个数，由加法原理计算可得答案；
（3）分析可得：符合要求的比31560大的五位数可分为四类分4种情况讨论，分别求出每一种情况的五位数个数，由加法原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，分3步进行分析：
①、个位从1，3，5选择一个，有$C_3^1$种选法，
②、千位数字不可选0，从剩下的5个中选一个，有$C_5^1$种选法，
③、在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位数字，有A₅²种选法，
则$C_3^1×C_5^1×A_5^2=300$个无重复数字的四位奇数；
（2）分2种情况讨论：
①、个位数上的数字是0，在其余的4个数字中任选4个，安排在前4个数位，有$A_6^4$种情况，
则此时的五位数有$A_6^4$个；
②、个位数上的数字是5，
首位数字不可选0，从剩下的5个中选一个，有$C_5^1$种选法，在剩下的5个数字中选出3个，安排在中间3个数位，
有$C_5^1A_5^3$种情况，
则此时符合条件的五位数有$C_5^1A_5^3$个．
故满足条件的五位数的个数共有$A_6^4+C_5^1A_5^3=660$个；
（3）符合要求的比31560大的五位数可分为四类：
第一类：形如4□□□□，5□□□□，6□□□□，共$C_3^1A_6^4$个；
第二类：形如32□□□，34□□□，35□□□，36□□□共有$C_4^1A_5^3$个；
第三类：形如316□□，共有$A_4^2$个；
第四类：形如3156□，共有2个；
由分类加法计数原理知，无重复数字且比31560大的四位数共有：$C_3^1A_6^4+C_4^1A_5^3+A_4^2+2=1334$个．

点评 本题考查分类计数及简单计数问题，解题的关键是理解所研究的事件，对计数问题分类计数．