Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在边AB上，设 =λ （λ＞0），过点P作PE∥BC交AC于E，作PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（1）求证：B′C∥平面A′PE；
（2）是否存在正实数λ，使得二面角C﹣A′B′﹣P的大小为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵FC∥PE，FC平面A'PE，∴FC∥平面A'PE．

∵平面A'PE⊥平面ABC，且A'E⊥PE，∴A'E⊥平面ABC．

同理，B'F⊥平面ABC，∴B'F∥A'E，从而B'F∥平面A'PE．

∴平面B'CF∥平面A'PE，从而B'C∥平面A'PE；

（2）解：存在正实数λ= ，使得二面角C﹣A′B′﹣P的大小为60°．

事实上，以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．

∵AC=BC=a，且 =λ （λ＞0），

∴C（0，0，0），A′（0， ， ），B′（ ，0， ），P（ ， ，0）．

∴ =（0， ， ）， =（ ，﹣ ， ）， =（0， ，﹣ ）．

平面CA'B'的一个法向量 =（ ，λ，﹣1），平面PA'B'的一个法向量 =（1，1，1）．

由 = =cos60°= ，

化简得 ﹣8λ+9=0，解得λ= ．

∴存在正实数λ= ，使得二面角C﹣A′B′﹣P的大小为60°．

【解析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明FC∥平面A'PE．再利用线面垂直的性质定理即可证明B′F∥A′E，进而得到B'F∥平面A'PE．利用面面平行的判定定理即可得到 平面B'CF∥平面A'PE，从而得到线面平行；（2）通过建立空间直角坐标系，由已知结合 =λ （λ＞0）求得所用点的坐标，把二面角C﹣A′B′﹣P的大小为60°转化为两个平面的法向量的夹角列式求得λ的值．
【考点精析】利用直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．