Question

如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离.

Answer 1

（1）见解析（2）见解析（3）

解析试题分析：（1）取EC的中点为N，则MN平行且等于CD的一半，由AB平行且等于CD的一半及平行公理知，NM平行且等于AB，所以ABNM是平行四边形，所以AM平行BN，所以AM平行面BEC；（2）由面ADEF⊥面ADCB及DE⊥AD，面面垂直性质定理知，DE⊥面ADCB，所以AD⊥BC，通过计算及勾股定理可知DB⊥BC，由线面垂直的判定定理可得BC垂直面DBE；（3）先算出三棱锥E-DBC的体积及三角形EBC的面积，再利用三棱锥E-DCB的体积与三棱锥D-EBC的体积相等即可求出点D到面BEC的距离.
试题解析：（1）证明：取中点，连结．
在△中，分别为的中点，
所以∥，且．
由已知∥，， 
所以∥，且．           3分
所以四边形为平行四边形．
所以∥．                                      4分
又因为平面，且平面，
所以∥平面．                                 4分
（2）证明：在正方形中，．
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面．
所以．                                      6分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，， ．
所以．