Question

已知点P_n（a_n，b_n）都在直线L：y=2x+2上，P₁为直线L与x轴的交点，数列{a_n}成等差数列，公差为1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）求证：

1

4

＜

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

＜

2

5

（n≥3，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）由题设知P₁（-1，0），a_n=-1+（n-1）×1=n-2，b_n=2（n-2）+2=2n-2．
（II）由P_n（n-2，2n-2），知|P₁P_n|=

5

（n-1），（n≥3），由此能够证明

1

4

＜

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

＜

2

5

（n≥3，n∈N^*）．

解答：解：（I）∵P₁为直线L：y=2x+2与x轴的交点，
∴当y=0时，x=-1，即P₁（-1，0）．
∴a₁=-1，b₁=0，
∵数列{a_n}成等差数列，公差为1（n∈N^*），
∴a_n=-1+（n-1）×1=n-2，
∵点P_n（a_n，b_n）都在直线L：y=2x+2上，
∴b_n=2（n-2）+2=2n-2
（II）∵P_n（n-2，2n-2），
∴|P₁P_n|=

5

（n-1），（n≥3）
∴

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

=

1

5

[1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n-1)2

]＜

1

5

[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-2)(n-1)

]=

1

5

[1+1-

1

n-1

]＜

2

5

．

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

=

1

5

[1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n-1)2

]＞

1

5

[1+

1

22

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)(n)

]=

1

5

[1+

1

4

+

1

3

-

1

n

]＞

1

4

．
故

1

4

＜

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

＜

2

5

（n≥3，n∈N^*）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法和不等式的证明，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意放缩法的合理运用．