Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为左支一点，P到左准线的距离为d，若d，|PF₁|，|PF₂|成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A．[

  1+ 5

  2

  ，+∞)
• B．(1，

  1+ 5

  2

  ]
• C．[1+

  2

  ，+∞)
• D．(1，1+

  2

  ]

Answer 1

分析：将等比数列的概念与双曲线的第二定义结合，再利用双曲线的简单性质得到|PF₁|与其离心率e的关系，通过不等式|PF₁|≥c-a即可求得该双曲线的离心率的取值范围．

解答：解：∵该双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，又P为左支一点，则|PF₂|-|PF₁|=2a，
设双曲线的离心率为e，依题意，

|PF1|

d

=

|PF2|

|PF1|

=e，
∵

|PF2|

|PF1|

=e，
∴

|PF2|-|PF1|

|PF1|

=e-1，即

2a

|PF1|

=e-1，
∴|PF₁|=

2a

e-1

，又|PF₁|≥c-a，
∴

2a

e-1

≥c-a，又c＞a，
∴0＜

c-a

2a

≤

1

e-1

，即

1

2

（e-1）≤

1

e-1

，
∴（e-1）²≤

2

，又e=

c

a

＞1
∴1＜e≤1+

2

．
故选D．

点评：本题考查等比数列的性质，考查双曲线的第二定义及双曲线的简单性质，突出转化思想与不等式的应用，属于中档题．