Question

在直角坐标系x0y中，椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=

5

3

．
（Ⅰ）求M点的坐标及椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）已知直线l∥OM，且与椭圆C₁交于A，B两点，提出一个与△OAB面积相关的问题，并作出正确解答．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由抛物线定义及|MF₂|=

5

3

，求出点M的横坐标，进而求其坐标，再由椭圆焦点为F₂（1，0），又过M点，用待定系数法求出椭圆方程
（Ⅱ）先由l∥OM，得l的斜率，从而将直线l的方程设为y=

6

（x-m），代入椭圆方程，利用韦达定理即可得弦长AB，利用点到直线的距离公式，可得△OAB的高，从而将△OAB的面积表示为m的函数，最后根据所得结论提两个问题即可

解答：解：（Ⅰ）由抛物线C₂：y²=4x 知 F₂（1，0），设M（x₁，y₁），（x₁＞0，y₁＞0），M在C₂上，且|MF₂|=

5

3

，所以x₁+1=

5

3

，得x₁=

2

3

，代入y²=4x，得y₁=

2 6

3

，
所以M（

2

3

，

2 6

3

）．                                                     
M在C₁上，由已知椭圆C₁的半焦距 c=1，于是

4 9a2 + 8 3b2 =1 b2=a2-1

消去b²并整理得 9a⁴-37a²+4=0，解得a=2（a=

1

3

不合题意，舍去）．
故椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．                                      
（Ⅱ）由y=

6

（x-m）得

6

x-y-

6

m=0，所以点O到直线l的距离为
d=

| 6 m|

7

，又|AB|=

4 7

9

9-2m2

，
所以S△OAB=

1

2

|AB|d=

2 6

9

-2m4+9m2

，
-

3 2

2

＜m＜

3 2

2

且m≠0．                                      
下面视提出问题的质量而定：
如问题一：当△OAB面积为

2 42

9

时，求直线l的方程．（y=

6

（x±1））      
问题二：当△OAB面积取最大值时，求直线l的方程．（y=

6

（x±

3

2

））

点评：本题考察了椭圆的标准方程，直线与椭圆的关系等知识，解题时要能熟练运用弦长公式，点到直线的距离公式，三角形面积公式解决问题，认真体会韦达定理的重要应用